小学典型应用题多解详析（二）

2008-09-23 | 相除关系式应用

　　归一、倍比和归总算法

　　归一算法，是平均算法的扩展和延伸，它是已知总数量及其计算单位的个数，通过求单位数量解答应用题的一种解题方法。其特点是有两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，而且变化的规律相同，和正比例算法彼此相通。

　　归一算法的基本结构类型有两种：一是已知单位个数及其总数量，求若干单位的数量，叫正归一；二是已知单位个数及其总数量，求若干数量的单位个数，叫反归一。

　　归一算法的数量关系式为：

　　总数量÷单位个数×若干单位个数＝若干单位的数量

　　若干单位数量÷(总数量÷单位个数) ＝若干单位的个数

　　倍比算法和归一算法，特点与结构均相同，只是解法不同；归一算法是通过求单位数量解答问题，倍比算法是通过求两个同类量的倍数解答问题。归一算法以“等分除法”为运算基础，是两个不同类量相除，首先求的是每个单位的平均数；倍比算法以“包含除法”为运算基础，是两个同类量相除，首先求的是两个同类量中，大数是小数的倍数。

　　倍比算法的数量关系式，在整数范围内，每一种类型又分为两个亚型；即同为求若干单位的数量，在单位个数大于若干单位的个数时：

　　总数量÷(单位个数÷若干单位个数) ＝若干单位的数量

　　在单位个数小于若干单位的个数时：

　　总数量×(若干单位个数÷单位个数) ＝若干单位的数量

　　同为求若干单位的个数，在总数量大于若干单位的数量时：

　　单位个数÷(总数量÷若干单位数量) ＝若干单位个数

　　在总数量小于若干单位的数量时：

　　单位个数×(若干单位数量÷总数量) ＝若干单位个数

　　归总算法与归一算法相反，它是已知单位数量和计算单位的个数，通过求总数量解答问题。其特点是有两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。

　　归总算法的基本结构类型也有两种：一是已知其一单位数量及其单位个数，还有另一单位的个数，求另一单位的数量；二是已知某一单位数量及其单位个数，还有另一单位数量，求另一单位的个数。

　　归总算法的数量关系式为：

　　单位数量×单位个数÷另一单位个数＝另一单位数量

　　单位数量×单位个数÷另一单位数量＝另一单位个数

　　1．山东豆腐王用25斤黄豆，可做出150斤豆腐。照这样算，75斤黄豆可做出多少斤豆腐？

　　分析一先求出一斤黄豆可出150÷25＝6(斤)豆腐，便知75斤黄豆可做出6×75＝450(斤)豆腐。如此得归一解。

　　解 150÷25×75＝450(斤)

　　答：75斤黄豆可以做出450斤豆腐。

　　分析二先求出75斤黄豆是25斤黄豆的75÷25＝3倍，可知75斤黄豆做出的豆腐，也应是25斤黄豆做出豆腐的3倍。如此得倍比解。

　　解 150×(75÷25)＝150×3＝450(斤)

　　答(略)

小学典型应用题多解详析（二）

小学典型应用题多解详析（二）答(略)

小学典型应用题多解详析（二）

小学典型应用题多解详析（二）答(略)

　　2．王营小学的全体学生做少年广播体操，开始每行50人，正好站满28行；后来改成每行40人，可站满多少行？

　　分析一要知每行站40人可站满多少行，应先求出总人数。那么，由开始每行50人正好站满28行，求出总人数为50×28＝1400(人)，可得归总解。

　　解 50×28÷40＝35(行)

　　答：每行40人可站满35行。

　　分析二因为每行人数×行数＝到操人数，已知到操人数一定，每行人数与可站行数成反比例，所以可用反比例解。

　　解设每行40人可站满x行。

　　40x＝50×28

　　40x＝1400

　　x＝35

　　答(略)

　　分析三因为到操人数一定，每行人数和可站行数成反比例，所以开始每行人数与后来每行人数的比为50∶40，开始可站行数与后来可站行数的比就一定是40∶50。由此求出后来可站行数是原来可站行数的50÷40 小学典型应用题多解详析（二）

小学典型应用题多解详析（二）答(略)

　　3．王营小学全体学生做广播体操，每行50人正好站满28行。若每行减少10人，可多站几行？

　　分析一由题意可知，到操总人数为50×28＝1400(人)，后来每行站50-10＝40(人)。那么，由此求出后来可站行数，即可得解。

　　解 50×28÷(50-10)-28

　　＝50×28÷40-28

　　＝35-28＝7(行)

　　答：按要求多站7行。

　　分析二因为每行人数×可站行数＝到操人数，已知到操人数一定，所以每行人数与可站行数成反比例。

　　解设可多站x行，后来就共站28＋x行。

　　(50-10)×(28＋x)＝50×28

　　40×(28＋x)＝1400

　　28＋x＝35

　　x＝7

　　答(略)

　　分析三根据到操人数一定，每行人数与可站行数成反比例，可知后小学典型应用题多解详析（二）

小学典型应用题多解详析（二）

　　答(略)

小学典型应用题多解详析（二）

小学典型应用题多解详析（二）＝35-28＝7(行)

　　答(略)

　　4．某锅炉房每天烧煤2.4吨，比原计划每天节约0.2吨。原计划烧60天的煤，现在能烧多少天？

　　分析一由题意可知，原计划每天烧2.4＋0.2＝2.6(吨)，总煤量为2.6×60＝156(吨)；又知实际每天烧多少，其解立得。

　　解 (2.4＋0.2)×60÷2.4

　　＝2.6×60÷2.4＝65(天)

　　答：现在可烧65天。

　　分析二由计划烧60天，现在每天节约0.2吨，可知共节煤0.2×60＝12(吨)。由此求出这些煤现在还可再烧12÷2.4＝5(天)，其解自明。

　　解 60+0.2×60÷2.4

　　＝60＋5＝65(天)

　　答(略)

　　分析三因为日耗量×天数＝煤总量，已知煤总量一定，所以日耗量与可烧天数成比例。

　　解设现在可烧x天。

　　2.4x＝(2.4+0.2)×60

　　2.4x＝2.6×60

　　2.4x＝156

　　x＝65

　　答(略)

　　分析四因为煤总量一定，日耗量与可烧天数成反比例，所以，计划日耗量与实际日耗量的比为(2.4+0.2)∶2.4＝13∶12，计划可烧天数与实际可烧天数的比就一定是12∶13。此求出计划天数仅小学典型应用题多解详析（二）

小学典型应用题多解详析（二）

　　答(略)

　　5．某锅炉房原来每天烧煤2.6吨，原来烧60天的煤，现在要求烧65天，每天应节约多少吨？

　　分析一由原来的日耗量和共烧天数，可知共有煤2.6×60＝156(吨)。那么，由此求出现在每天应烧156÷65＝2.4(吨)，便可得解。

　　解 2.6-2.6 ×60÷65

　　＝2.6-2.4＝0.2(吨)

　　答：每天应节约0.2吨。

　　分析二因为日耗量×天数＝煤总量，已知煤总量一定，所以日耗量与可烧天数成反比例。

　　解设每天应节约x吨，现在每天就应烧2.6-x吨。

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　　答(略)

　　分析三因为煤总量一定，可烧天数与日耗量成反比例，所以，原来可烧天数与现在可烧天数的比为60∶65，原来日耗量与现在日耗量的比就小学典型应用题多解详析（二）

　　解 2.6-2.6÷(65÷60)

小学典型应用题多解详析（二）

　　答(略)

　　分析四因为煤总量一定，可烧天数与日耗量成反比例，所以可烧天小学典型应用题多解详析（二）

小学典型应用题多解详析（二）

　　答(略)

　　6．一件工作计划25人12天完成，照此计算，若增加5人可提前几天完成？

　　分析一由计划25人12天完成，可知总工作量为12×25＝300(个)劳动日；由计划25人又增加5人，可知每天能完成25+5＝30(个)劳动日。由此求出现在只需300÷30＝10(天)完成，即可得解。

　　解 12-12×25÷(25+ 5)

　　＝12-12×25÷30

　　＝12-10＝2(天)

　　答：可提前两天完成。

　　分析二因为时间×人数＝工作量，已知工作量一定，所以完成时间与参加人数成反比例。

　　解设可提前x天完成，实际完成天数就是12-x天。

　　(12-x)×(25+5)＝12×25

　　(12-x)×30＝300

　　12-x＝10

　　x＝2

　　答(略)

　　分析三因为工作量一定，参加人数与完成天数成反比例，所以实际小学典型应用题多解详析（二）

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　　答(略)

小学典型应用题多解详析（二）

　　答(略)

　　7．有一项工程原计划30人10天完成，因人员减少推迟两天完成，比计划减少了几人？

　　分析一由题意可知，总工作量为10×30＝300(个)劳动日；实际用10+2＝12(天)完成了任务。那么，由此求出实际参加者只有300÷12＝25(人)，便可得解。

　　解 30-10×30÷(10+2)

　　＝30-10×30÷12

　　＝30-25＝5(人)

　　答：比计划减少5人。

　　分析二因为天数×人数＝工作量，已知工作量一定，所以施工天数和参加人数成反比例。

　　解设比计划减少x人，实际参加者就是30-x人。

　　(30-x)×(10+2)＝10×30

　　(30-x)× 12＝300

　　30-x＝25

　　x＝5

　　答(略)

　　8．机加三班计划由5人4天加工480个机器零件，照此计算，若提前一天半完成任务，需要增加几个人？

　　分析一因为天数×人数＝工作量，已知工作量一定，所以完成天数与参加人数成反比例。

　　解设需要增x人，实际需要人数就是5+x人。

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　　答(略)

　　分析二因为工作量一定，参加人数与完成天数成反比例，所以计划小学典型应用题多解详析（二）

　　用人数仅为实用人数小学典型应用题多解详析（二）

小学典型应用题多解详析（二）答(略)

　　9．某班计划5名工人4天加工480个零件，因故减少一人仍在计划时间内完成了任务，工作效率提高了百分之几？

　　分析一由计划5人4天加工480个零件，求出计划一人每天加工480÷5÷4＝24(个)；再由实际用5-1＝4(人)4天加工480个零件、实际一人每天加工480÷4÷4＝30(个)零件，求出实际效率是计划效率的30÷24＝1.25倍，便知比计划效率提高了1.25-1＝0.25倍，即25％。

　　解 480÷4÷(5-1)÷(480÷4÷5)-1

　　＝480÷4÷4÷24-1

　　＝1.25-1＝0.25

　　＝25％

　　答：工作效率提高了25％

　　分析二因为时间未变，加工数量的比等于加工效率的比；所以要求效率提高了多少，只要通过计划每人加工个数和实际每人加工个数便可求得。

　　解 480÷(5-1)÷(480÷5)-1

　　＝480÷4÷96-1

　　＝1.25-1＝0.25

　　＝25 ％

　　答(略)

　　分析三因为工作量一定，工作效率和参加人数成反比例，所以计划人数与实用人数的比为5∶(5-1)＝5∶4，计划效率与实际效率的比就一定是4∶5。由此求出实际效率是计划效率的5÷4＝1.25倍，也可得解。

　　解 5÷(5-1)-1

　　＝5÷4-1＝1.25-1

　　＝0.25

　　＝25％

　　答(略)

　　分析四因为任务一定，时间不变，那么，由实际5-1＝4(人)完成了5人的任务，可知4人除完成计划4人应完成的工作量外，还同时共同完成了计划一人完成的工作量。可见这一人的任务，每人应分百分之几，就应提高了百分之几的效率。

　　解 1÷(5-1)＝1÷4＝0.25

　　＝25％

　　答(略)

　　10．两台拖拉机7小时耕地56亩，4台这样的拖拉机，6小时可耕地多少亩？

　　分析一要求4台拖拉机6小时耕地多少亩，只要先求出一台拖拉机每小时耕地多少亩，其解自明。

　　解 56÷7÷2×4×6＝96(亩)

　　答：4台拖拉机6小时可耕地96亩。

　　分析二因为拖拉机的效率一定，所和台数和工作时间均与工作量成正比例；所以原来耕地亩数与后来耕地亩数的比，既等于原来台数与后来台数的比，也等于原用时间和后用时间的比。因此可得复比例解。

　　解设所求耕地面积为x亩。

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　　答(略)

　　分析三因为拖拉机的效率一定，投入的台时与耕地面积成正比例，所以，由后来投入的6×4＝24(台时)，是原来投入的7×2＝14(台时)的小学典型应用题多解详析（二）

小学典型应用题多解详析（二）

　　答(略)

　　11．两台拖拉机耕地56亩需要7小时，要在6小时内耕地96亩需要同样的拖拉机多少台？

　　分析一要知6小时耕地96亩需要几台拖拉机，只要求出一台拖拉机6小时耕地多少亩，即可得解。

　　解 96÷(56÷7÷2×6)

　　＝96÷24＝4(台)

　　答：要在6小时耕地96亩，需要同样的拖拉机4台。

　　分析二已知每台拖拉机的效率一定，假设耕地面积也一定，所需台数与完成时间成反比例；假设工作时间一定，所需台数与耕地面积则成正比例。因此可得复比例解。

　　解设需要拖拉机x台。

小学典型应用题多解详析（二）

　　答(略)

　　分析三因为拖拉机的单机效率一定，每小时的耕地面积与所需台数成正比例。那么，由原来每小时耕地56÷7＝8(亩)，后来准备每小时耕地96÷6＝16(亩)，分别求出后来每小时耕地面积是原来每小时耕地面积的16 小学典型应用题多解详析（二）

　　①解 2×[96÷6÷(56÷7)]

　　＝2×[96÷6÷8]

　　＝2×2＝4(台)

小学典型应用题多解详析（二）答(略)

　　12．某项工作，原计划20人每天工作8小时，15天可以完成；后来增加了5人，每天工作减少了两小时，多少天可以完成？

　　分析一由20人每天工作8小时15天完成，求出总工作量为8×15×20＝2400(个)工时；由实际人数增加到 20+5＝25(人)，每天工作减少到8-2＝6(小时)，再求出后来每天投入6×25＝150(个)工时，便可得解。

　　解 8×15×20÷[(8-2)×(20+5))

　　＝8×15×20÷[6×25]

　　＝8×15×20÷150＝16(天)

　　答：按要求16天完成。

　　分析二因为工作量一定，每天投入工时与完成天数成反比例，从上解的分析和计算又知，实际每天投入150个工时，再求出计划每天投入8×20＝160(个)工时，可知计划每天投入工时与实际每天投入工时的比为160∶150，计划完成天数与实际完成天数的比就一定是150∶160。那么，由此小学典型应用题多解详析（二）

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小学典型应用题多解详析（二）答(略)

　　分析三因为每天投入的工时×完成天数＝工作量，已知工作量一定，所以每天投入的工时与完成天数成反比例。

　　解设x天可以完成。

　　(8-2)×(20+5)×x＝8×20×15

　　6×25×x＝2400

　　150x＝2400

　　x＝16

　　答(略)

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《小学典型应用题多解详析（二）》摘要：量的单位个数，叫反归一。归一算法的数量关系式为：总数量÷单位个数×若干单位个数＝若干单位的数量若干单位数量÷(总数量÷单位个数) ＝若干单位的个数倍比算法和归一算法，特点与结构均相同，只是解法不同；归一...

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