数学教研：数学教育不能从培养数学家的要求出发

　　现在大家在研究数学教育改革问题，我的看法是既要积极，也要慎重，不可草率从事。这是因为它牵涉面很大：全国有两亿中、小学生，他们的数学素质如何，直接会影响未来世纪的国家建设，我们的本意是想改得好一些，但是搞得太急，没有充分论证和经过试验，那是不成的。

　　数学家谈数学教育改革，不能只从培养数学家的角度来看问题。一万人口中顶多有一两个数学家，不能用数学家的要求来指导中小学数学教学。我们常常以自己如何走上数学道路的经验来判断是非，那是不全面的。 我比较喜欢几何，这里先谈谈中学几何课程的改革。我常常听到一些意见，认为中学的几何必须是一个公理系统，我不赞成。中国古代的几何学，没有公理体系，但是有原理，例如出入相补原理等等。中学几何课上，讲公理不如讲原理，例如三角形全等的条件，就是一个原理。我们选择若干个原理，将几何内容串起来，比公理系统要好。一部经典力学，就是从牛顿三大定律（三个原理）推演出来的，也有人认为，从原理出发不严格，使用公理体系才能做到严密，这是在唬人骗人，中学几何课程根本做不到希尔伯特《几何基础》那样的严格性，欧几里得《几何原本》里的公理体系也是不严格的，我们没有必要去追求这种公理系统的严密性。

　　当然，我决不是否认逻辑推理的重要性。一旦把几个重要的原理确定下来，我们还是要一步步地严格论证，从原理出发，推出那些几何学命题和结论。另一方面，几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉。不能把几何学等同于逻辑推理。应该训练学生的逻辑推理能力，但也应适可而止。只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造性的。

　　不论是几何，还是代数，都要讲鈥溚评礅�潯Ｄ阍诮夥匠淌保�把一个方程化成另一个方程，就要讲鈥溚�解鈥澋牡览怼Ｊ褂靡恢炙惴ń馕侍猓�也要论证其合理性。任何数学都要讲逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活中，其他学科中出现的数学问题。学校里给的数学题目都是有答案的，已知什么，求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的。但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案。这就要培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法，但要做到这一点，光凭逻辑推理是不够的。

　　顺便说一句，中学里鈥湺允�鈥澋牡匚凰坪跤Φ敝匦鹿兰啤９�去学对数主要是为了查对数表以便简化计算，现在有了计算器，对数的这一功能已被取代了，至干对数函数，那恐怕还是要的。 大家谈到我的研究工作，即数学定理的机械化证明，是否可用于中学数学课程改革，我也没有把握。我只是在一个会上谈了设想，有些同志觉得可以试试，至于是否可行，现在还不知道。由干电子计算机的出现，解析几何的重要性在增加，中学里结合解析几何方法学习平面几何，也许值得作进一步研究。不过，我仍回到我刚开始说的一句话，即数学教育改革一定要慎重考虑。一定要经过试验，而且首先要在教师中进行试验。中学里渗透机械化证明的思想，也一定要慎重才好。